предыдущее главная страница читаем дальше

3. Имитация непрерывных случайных величин

Имитационное моделирование явлений и объектов, формальное описание которых возможно с помощью представления их в виде случайных величин (СВ) с заданным законом распределения, основываются на использовании СЧ с равномерным законом распределения и их преобразований. Такие преобразования могут быть осуществлены на основе: метода обратной функции; предельных теорем теории вероятности, приближенных методов и т.п. Для более подробного ознакомления с этими методами можно воспользоваться [20, 25].


3.1. Метод обратной функции

Пусть непрерывная случайная величина (СВН) задана своим законом распределения:

, где плотность распределения вероятностей, а - функция распределения вероятностей. Доказано, что случайная величина

распределена равномерно на интервале (0,1).

Отсюда следует, что искомое значение y может быть определено из уравнения:

(5)

которое эквивалентно уравнению:

где y значение случайной величины . Решение уравнения (6) можно записать в общем виде через обратную функцию

Основной недостаток метода заключается в том, что интеграл (5) не всегда является берущимся, а уравнение (6) не всегда решается аналитическими методами. Доказательство теоремы и обоснование метода смотрите в [ ].

Пример 1.

Получить в соответствии с методом обратной функции преобразование, позволяющее вычислить значения СВ , распределенной по показательному закону.

Решение. Показательный закон характеризуется функцией плотности:

Воспользуемся методом обратной функции, вычислим интеграл (5) и получим уравнение вида (6)

или Тогда: , прологарифмировав и разрешив уравнение через y, будем иметь:

(7)

Получая значение х с помощью датчика равномерно распределеных случайных чисел на интервале (0,1), можно получить значения y в соответствии с выражением (7). Заметим, что показательный закон распределения особенно часто используется для исследования систем массового обслуживания и определения показателей надежности систем.

Пример 2.

Получить преобразование в соответствии с методом обратной функции СВ, позволяющее вычислить значение СВ , распределенной по закону Вейбулла.

Решение. Плотность распределения такой СВ имеет вид:

- параметры закона распределения, введем обозначение . Нетрудно вывести уравнение вида (6). Для данного распределения оно имеет вид:

Логарифмируя левую и правую его части и выражая y через х, получим:

Распределение Вейбулла имеет место при исследовании отказов элементов оборудования, возникающих в результате износа и старения. Параметр носит название и имеет смысл интенсивности отказов. При a =1 закон Вейбулла совпадает с показательным, при a <1 интенсивность отказов является монотонно убывающей, а при a >1 – монотонно возрастающей функцией.


3.2. Метод Неймана (режекции)

Метод Неймана, так же как метод обратной функции, является методом, позволяющим получить значения СВ в соответствии с заданным законом распределения. Этот метод является достаточно универсальным он применим для моделирования всех СВ, значения которых не выходят за пределы ограниченного интервала (a,b), а также для СВ, законы распределения которых можно аппроксимировать усеченными.

Метод Неймана состоит в следующем:

    1. С помощью датчика случайных чисел получают пару чисел, распределенных равномерно на (0,1).x1 и x2.
    2. Путем преобразований (по методу обратной функции получают два числа , равномерно распределенных соответственно на интервалах (a,b) и (o,w), то есть
    3. , где

      рис 3.5.

       

    4. Из точек с координатами выбирают те, которые попали “под колокол” функции fh (y), то есть те точки, для которых .
    5. Если выполнено условие 3., то искомое значение y полагают равным .

3.3. Алгоритм получения значения нормально распределенной случайной величины.

Нормальное распределение является наиболее часто встречающимся. Функция плотности распределения вероятностей для него имеет вид:

где m матожидание, а – дисперсия. Согласно центральной предельной теореме теории вероятностей СВ

      распределена асимптотически нормально, если распределены одинаково.

Для практического получения значений в качестве и выбирают равномерно распределенные СВ. При этом наиболее часто используют преобразование

      (8)

       

      где xi равномерно распределенные на (0,1) случайные числа. При к=12 формула приобретает вид наиболее удобной для расчетов, но она дает достаточно точные результаты уже для к=3,4. Формула (8) верна для центрированной (m=0) и нормированной ( =1) случайной величины.

Для получения y*, распределенного нормально с произвольными m и , пользуются дополнительно преобразованием

      y*=m+ y (9)


3.4. Алгоритм получения случайной величины, распределенной по Пуассону

Закон Пуассона описывает число событий, происходящих за одинаковые промежутки времени, при условии независимости этих событий. Это распределение хорошо описывает количество вызовов телефонной станции за определенное время суток, заказов такси и т.д. Закон Пуассона называют законом появления редких событий.

В основе алгоритма получения случайных чисел, распределенных по Пуассону лежит предельная теорема Пуассона [ ]. В соответствии с этой теоремой, если n – количество событий велико, а р – вероятность успеха мала, то вероятность того, что при n испытаниях событие произойдет к раз равна:

Здесь np=а, где а – параметр закона Пуассона.

Процедура получения чисел, распределенных по Пуассону заключается в следующем:

    1. Положить р меньше, либо равно 0,1 (так как события являются редкими).
    2. Вычислить число испытаний n=а/р.
    3. Значение х – случайного числа с равномерным на интервале (0,1) законом распределения сравнить с р, если х меньше, либо равно р, то к счетчику событий добавляется 1.
    4. Проводится n испытаний, после чего содержимое счетчика можно считать случайным числом, распределенным по Пуассону.
Аналогично можно получить значения случайных величин, распределенных в соответствии с геометрическим, биноминальным и другими распределениями дискретных случайных величин

3.5. Упражненияs

    1. Получить значения СВ, распределенных в соответствии с функциями плотности распределения вероятностей указанными ниже. Использовать метод обратной функции.
    2. Получить значения случайных величин в соответствии с методом Неймана, если их функцией плотности распределения и их параметры заданы следующим образом.

а) распределение Вейбулла:

;

б) двойной показательный:

, ;

в) Симпсона (треугольный):

 

г) Парето:

д) Лапласса:

е) Арксинуса:


предыдущее главная страница читаем дальше